Las matemáticas son el estudio de las relaciones entre
cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas
para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.
Las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad.
Las matemáticas avanzadas y organizadas fueron desarrolladas
en el tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto, las cuales estaban dominadas
por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos.
Los primeros libros egipcios, muestran un sistema de
numeración decimal con símbolos diferentes para las potencias de 10, similar a
los números romanos. Los números se representaban escribiendo 1 tantas veces
como unidades tenía la cifra dada, el 10, tantas veces como decenas tenía, y
así sucesivamente. Para sumar, se sumaban en secciones diferentes las unidades,
las decenas, las centenas... de cada número para obtener el resultado correcto.
La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el
proceso inverso.
Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (ð),
junto con la fracción, para expresar todas las fracciones. En geometría
encontraron reglas para calcular el área de triángulos, rectángulos y
trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, pirámides. Para
calcular el área de un círculo, utilizaron un cuadrado de lado ð del diámetro
del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando pi 3.1416.
Los babilonios tallaron tablillas con varias cuñas
(cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una en forma de flecha
representaba al 10. Los números menores que 59 estaban formados por estos
símbolos utilizando un proceso aditivo, como lo hacían los egipcios y los
romanos. Pero el 60, era representado con el símbolo del 1, y a partir de ahí,
el valor de un símbolo venía dado por su posición en la cifra completa. Esta
manera de expresar números, fue ampliado a la representación de fracciones.
Posteriormente este sistema fue denominado sexagesimal.
Tiempo más tarde, los babilonios desarrollaron matemáticas
más sofisticadas, lo cual les permitió encontrar las raíces positivas de
cualquier ecuación de segundo grado. También lograron encontrar las raíces de
algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados
utilizando el teorema de Pitágoras. Fueron capaces de recopilar gran cantidad
de tablas, como las de multiplicar, de dividir, de cuadrados y hasta las de
interés compuesto. Calcularon la suma de progresiones aritméticas y de algunas
geométricas, pero también de sucesiones de cuadrados. Aunque también obtuvieron
una buena aproximación de la raíz cuadrada.
Uno de los grupos más innovadores en la historia de las
matemáticas fueron los egipcios, quienes inventaron las matemáticas abstractas
basadas en definiciones, axiomas y demostraciones. Los descubridores egipcios
más importantes fueron Tales de Mileto y Pitágoras de Samos, quien explicó la
importancia del estudio de los números para poder entender el mundo.
Uno de los principales interesados en la geometría fue
Demócrito, quien encontró la fórmula para calcular el volumen de una pirámide,
aunque Hipócrates, descubrió que el área de figuras geométricas en forma de
media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos
triángulos, lo cual está relacionado con el problema de la cuadratura del
círculo, que consiste en construir un cuadrado de área igual a un círculo. En
ese tiempo también fue resuelto mediante diversos métodos y utilizando
instrumentos diversos, entre los que se encuentran el compás en incluso la regla
el problema de la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo que
consiste en construir un cubo cuyo volumen es el cuadrado de el de un cubo
dado).
A finales del siglo V a.C., descubrieron que no existe una
unidad de longitud capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, puesto
que una de las dos cantidades es inconmensurable, es decir, no
existen dos números naturales cuyo cociente sea igual a la proporción entre el
lado y la diagonal. Pero como los griegos sólo utilizaban los números naturales,
no pudieron expresar numéricamente dicho cociente, ya que es un número irracional.
Por esta razón, fue abandonado la teoría Pitagórica de la proporción, basada en
números, por lo que más tarde crearon una nueva teoría no numérica, la cual fue
introducida por Eudoxo, quien descubrió un método para demostrar supuestos
sobre áreas y volúmenes mediante aproximaciones sucesivas.
Euclides redactó trece libros que componen sus Elementos, los
cuales contienen la mayor parte del conocimiento matemático existente en el
siglo IV a.C., trataba temas como la geometría de polígonos, del círculo, la
teoría de números, la teoría de los inconmensurables, la geometría del espacio
y la teoría elemental de áreas y volúmenes.
Mucho tiempo después, Arquímedes utilizó un nuevo método
teórico para calcular las áreas y volúmenes de figuras obtenidas a partir de
las cónicas. Apolonio, redactó un tratado en ocho tomos sobre las cónicas, y
estableció sus nombres: elipse, parábola e hipérbola. Este tratado sirvió de
base para el estudio de la geometría de estas curvas.
Después, Herón expuso cómo elementos de la tradición
aritmética y de medidas de los babilonios y egipcios convivieron con las
construcciones lógicas de los grandes geómetras.
En el siglo II a.C., los griegos adoptaron el sistema
babilónico de almacenamiento de fracciones y recopilaron tablas de las cuerdas
de un círculo, puesto que para un círculo de radio determinado, estas tablas
daban la longitud de las cuerdas en función del ángulo central correspondiente,
que crecía con un determinado incremento. Eran similares a las tablas de seno y
coseno, y marcaron el comienzo de la trigonometría.
Mientras tanto, se desarrollaron otros métodos para resolver
problemas con triángulos planos y se introdujo el teorema de Menéalo, que
utilizaron para calcular las longitudes de arcos de esfera en función de otros
arcos, son este conocimiento, les fue posible resolver problemas de astronomía
esférica.
Después de un siglo de expansión de la religión musulmana,
los árabes incorporaron a su propia ciencia los resultados de “ciencias
extranjeras”.
Hacia el año 900, los matemáticos árabes ampliaron el
sistema indio de posiciones decimales en aritmética de números enteros,
extendiéndolo a las fracciones decimales. Posteriormente, Jayyam generalizó los
métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces
cuartas, quintas y de grado superior. Pero el árabe Al-Jwârizmî (de su nombre
procede la palabra algoritmo) desarrolló el álgebra de los polinomios;
al-Karayi la completó para polinomios incluso con infinito número de términos.
Ibrahim ibn Sinan, continuaron investigaciones sobre áreas y volúmenes. Los
matemáticos Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon trigonometrías plana
y esférica utilizando la función seno de los indios y el teorema de Menelao.
Pero fue siglos después cuando algunos matemáticos árabes
lograron importantes avances en la teoría de números, mientras otros crearon
variedad de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones.
Hasta el siglo XVI, descubrieron una fórmula para la resolución de las
ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por Cardano en
su Ars magna. Esto llevó a los matemáticos a interesarse por números
complejos y estimuló la búsqueda de soluciones similares para ecuaciones de
quinto grado y superior.
En el siglo XVI se utilizaron los signos matemáticos y
algebraicos.
Durante el siglo XVII se comenzó con el descubrimiento de
logaritmos por Neper, lo que llevó a Laplace a decir, dos siglos más tarde, que
Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les había duplicado
la vida.
La ciencia de la teoría de números, es un buen ejemplo de
los avances conseguidos en el siglo XVII basándose en los estudios de la
antigüedad clásica. Su conjetura más destacada en este campo fue que no existen
soluciones de la ecuación an + bn = cn con a,
b y c enteros positivos si n es mayor que 2, lo que es
famoso con el nombre de teorema de Fermat.
Tiempo después fue descubierto por Descartes, la geometría
analítica, que mostraba cómo utilizar el álgebra para investigar la geometría
de las curvas. Posteriormente, fue la publicación, por Desargues de su
descubrimiento de la geometría proyectiva. Pero, a pesar de que este trabajo
fue alabado por Descartes y Pascal, su terminología excéntrica y el gran
entusiasmo que había causado la aparición de la geometría analítica retrasó el
desarrollo de sus ideas hasta el siglo XIX, con los trabajos de Poncelet.
En el siglo XVII, apareció la teoría de la probabilidad a
partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat sobre el problema de puntos,
esto llevó a Huygens a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en juegos
con dados, que fue publicado por Bernoulli.
El acontecimiento matemático más importante del siglo XVII
fue el descubrimiento por Newton de los cálculos diferencial e integral, para
llegar a éstos, Newton se basó en los trabajos de John Wallis, Isaac Barrow,
Descartes, Cavalieri, Hudde y Roberval. Pero ocho años más tarde, Leibniz
descubrió también el cálculo pero el primero en publicarlo, en 1684 y 1686. El
sistema de notación de Leibniz es el que se usa hoy en día en el cálculo.
A continuación, discípulos de Newton y Leibniz se basaron en
sus trabajos para resolver problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que
les permitió crear nuevos campos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos
Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y Monge la geometría
descriptiva. Lagrange, dio un tratamiento completa-mente analítico de la
mecánica. Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades y
el clásico Mecánica celeste, los cuales le valieron el sobrenombre de `el
Newton francés'.
En el siglo XVIII, Euler aportó ideas sobre el cálculo y
otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Escribió textos sobre cálculo,
mecánica y álgebra. La teoría de Newton estaba basada en la cinemática y las
velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange
era algebraico y basado en el concepto de las series infinitas.
En 1821, Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del
cálculo; basó su visión del cálculo en cantidades finitas y el concepto de
límite. Pero, esta solución planteó elproblema de la definición lógica de
número real. A pesar de que la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en
este concepto, Dedekind encontró una definición adecuada para los números
reales, a partir de los números racionales.
A principios del siglo XIX, Gauss dio una explicación
adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y
completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy,
Weierstrass y Riemann. Otro importante avance del estudio, por parte de
Fourier, fue el de las sumas infinitas de expresiones con funciones
trigonométricas, las que hoy en día se conocen como series de Fourier, y son
herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Además, la investigación de funciones llevó a Cantor al estudio de los
conjuntos infinitos y a una aritmética de números infinitos. La teoría de
Cantor fue considerada como demasiado abstracta y criticada como “enfermedad de
la que las matemáticas se curarán pronto”, forma hoy parte de los fundamentos
de las matemáticas y recientemente ha encontrado una nueva aplicación en el
estudio de corrientes turbulentas en fluidos.
Otro descubrimiento del siglo XIX que se consideró abstracto
e inútil en su tiempo fue la geometría no euclídea, en la cual se pueden trazar
al menos dos rectas paralelas a una recta dada que pasen por un punto que no
pertenece a ésta. Aunque fue descubierta primero por Gauss, Lobachevski y
Bolyai, lo publicaron primero porque Gauss tuvo miedo a la controversia que su
publicación pudiera causar. Las geometrías no euclídeas fueron estudiadas por
Riemann, con su descubrimiento de las múltiples paralelas.
Durante el siglo XIX, George Boole y Cantor dan su teoría de
conjuntos. Pero, fue hasta finales del siglo cuando se descubrieron una serie
de paradojas en la teoría de Cantor. Posteriormente, Russell encontró una paradojas,
que afectó al concepto de conjunto.
Hilbert invento el ordenador o computadora digital
programable, primordial en las matemáticas del futuro. Aunque los orígenes de
las computadoras fueron las calculadoras de relojería de Pascal y Leibniz en el
siglo XVII, fue Babbage quien, en la Inglaterra del siglo XIX, diseñó una
máquina capaz de realizar operaciones matemáticas automáticamente siguiendo una
lista de instrucciones escritas en tarjetas o cintas. La imaginación de Babbage
sobrepasó la tecnología de su tiempo, construyendo el relé, la válvula de vacío
y después la del transistor cuando la computación programable a gran escala se
hizo realidad., lo cual ha dado un gran impulso a ciertas ramas de las
matemáticas, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y ha generado
nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se
ha convertido en una poderosa herramienta en campos como la teoría de números,
las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador ha
permitido encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían
podido resolver anteriormente, como el problema topológico de los cuatro
colores propuesto a mediados del siglo XIX. El teorema dice que cuatro colores
son suficientes para dibujar cualquier mapa, con la condición de que dos países
limítrofes deben tener distintos colores.
Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros
como las hipótesis de Riemann siguen sin solución. Al mismo tiempo siguen
apareciendo nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso las matemáticas
más abstractas están encontrando aplicación.
Babilonia
Tres mil años antes de Cristo, los pobladores de los ríos
Tigris y Eúfrates dejaron miles de tablillas de arcilla. En más de 500 de ellas
aparecen manifestaciones matemáticas que describen su sistema de numeración en
base 60 y sus conocimientos sobre el teorema de Pitágoras.
Eran grandes observadores del espacio, es decir de las
posiciones de los planetas que llegaban a observar (Mercurio, Venus, Marte,
Júpiter y Saturno), gracias a ellos, ahora tenemos dos conocimientos, de los
cuales uno tiene importancia mayor a la del otro y son:
- El horóscopo. Bautizaron las doce constelaciones del
zodíaco, dividiendo cada una de ellas en 30 partes iguales. Es decir,
dividieron el círculo zodiacal en 12 x 30 = 360 partes.
- Afirmaron la división de la circunferencia en 360 grados y
la de cada grado en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.
Fueron capaces de calcular raíces cuadradas, fracciones,
ecuaciones de primer y segundo grado y ecuaciones cúbicas de la forma n3 + n2 =
a.
Tablilla con motivos geométricos
En el 2000 a.C., descubrieron un sistema posicional, en el
que simbolizaban cualquier número con la T para el 1 y < para el 10. La base
que utilizan es 60. Ejemplos:
24 = <<TTTT 93 = 60 + 30 + 3 = T<<<TTT
En la tablilla Plimpton 322, se puede deducir que los
babilonios conocían el hecho de que si p y q son dos números enteros entonces
los números b = p2 - q2 ; c = 2pq ; y a = p2 + q2 a, b y c son las medidas de
los lados de un triángulo rectángulo. Lo que ahora es mejor conocido con el
nombre de
